球谐函数01 - 函数拟合 | Lights and Shadows

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1. 函数拟合

计算机应用常常需要使用简单函数的线性组合来拟合某个复杂函数。例如，在游戏开发中，为了实现某些渲染效果，通常会在shader中使用到正弦函数。但是，由于GPU计算正弦函数的指令数较多，性能开销比较高，开发者通常会考虑使用多项式函数 $𝑥^{𝑛}$ 的线性组合来拟合正弦函数，从而减少计算指令数，提高渲染性能。

假设我们需要计算正弦函数 $𝑓 (𝑥) = sin (𝑥)$ 在区间 $[- 𝜋, 𝜋]$ 上的值。为了减少性能开销，我们考虑使用多项式函数 $𝑥^{𝑛}$ 的线性组合来逼近函数 $sin (𝑥)$ ，如式 1 所示。

\tilde{𝑓} (𝑥) = \sum_{𝑖 = 0}^{𝑛} 𝑐_{𝑖} 𝑥^{𝑖}

线性组合系数 $𝑐_{𝑖}$ 的取值应该使得函数 $𝑓 (𝑥)$ 与 $\tilde{𝑓} (𝑥)$ 之间的误差最小。因此，我们先定义误差函数 $𝑔 (𝑥)$ ，然后求得误差函数 $𝑔 (𝑥)$ 的最小值点，即可以得到线性组合系数 $𝑐_{𝑖}$ 。

𝑔 (𝑥) = \int_{- 𝜋}^{𝜋} {(𝑓 (𝑥) - \tilde{𝑓} (𝑥))}^{2}

由于函数 $𝑔 (𝑥)$ 的最小值点必定在极小值点取得，因此求函数 $𝑔 (𝑥)$ 的最小值点的一种方法是，求 $𝑔 (𝑥)$ 的导数为0的点。另外，我们还可以使用其他方法来求解系数 $𝑐_{𝑖}$ ，该方法称为 最小二乘投影，这是后面重点介绍的方法。

对于函数 $sin (𝑥)$ ，我们可以使用多项式函数 $𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 的线性组合来拟合，其中 $𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 的定义如公式所示。

{\begin{cases} 𝑃_{0} (𝑥) = \frac{1}{\sqrt{2 𝜋}} \\ 𝑃_{1} (𝑥) = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}} 𝑥}{𝜋^{\frac{3}{2}}} \\ 𝑃_{2} (𝑥) = \frac{3 \sqrt{\frac{5}{2}} (𝑥^{2} - \frac{𝜋^{2}}{3})}{2 𝜋^{\frac{5}{2}}} \\ 𝑃_{3} (𝑥) = \frac{5 \sqrt{\frac{7}{2}} (𝑥^{3} - \frac{3 𝜋^{2} 𝑥}{5})}{2 𝜋^{\frac{7}{2}}} \\ ⋮ \end{cases}

所有在区间 $[- 𝜋, 𝜋]$ 上有定义的一元连续函数能够构成函数空间 $𝐿 (𝑅)$ ，而函数 $𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 是该函数空间中的 基函数。这意味着函数空间 $𝐿 (𝑅)$ 中的任意函数，都可以使用基函数 $𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 的线性组合来表示，即

sin (𝑥) = \sum_{𝑖 = 0}^{\infty} 𝑐_{𝑖} 𝑃_{𝑖} (𝑥)

虽然函数 $sin (𝑥)$ 需要使用无穷项基函数 $𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 的线性组合来表示，但是实际上，我们取基函数的前 $𝑛$ 项也能够很好地来拟合函数 $sin (𝑥)$ 。为了方便起见，我们取前 $4$ 项基函数 $𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 的线性组合来进行拟合，可以表示为：

sin (𝑥) \approx \tilde{𝑓} (𝑥) = \sum_{𝑖 = 0}^{3} 𝑐_{𝑖} 𝑃_{𝑖} (𝑥)

另外，由于函数空间的基函数会满足 正交性质，则函数 $𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 应该满足性质：

\int_{- 𝜋}^{𝜋} 𝑃_{𝑖} (𝑥) 𝑃_{𝑗} (𝑥) d 𝑥 = 𝛿_{𝑖, 𝑗}

其中 $𝛿_{𝑖, 𝑗}$ 的定义如下：

𝛿_{𝑖, 𝑗} = {\begin{cases} 1 if 𝑖 \neq 𝑗 \\ 0 if 𝑖 = 𝑗 \end{cases}

基于多项式函数 $𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 的正交性，我们可以通过以下公式求得线性组合系数 $𝑐_{𝑖}$ ：

𝑐_{𝑖} = \int_{- 𝜋}^{𝜋} sin (𝑥) 𝑃_{𝑖} (𝑥) d 𝑥

式 8 的证明如下：

\begin{aligned} 𝑐_{𝑖} & = \int_{- 𝜋}^{𝜋} sin (𝑥) 𝑃_{𝑖} (𝑥) d 𝑥 \\ = \int_{𝜋}^{𝜋} (\sum_{𝑘 = 0}^{\infty} 𝑐_{𝑘} 𝑃_{𝑘} (𝑥)) 𝑃_{𝑖 (𝑥)} d 𝑥 \\ = \int_{𝜋}^{𝜋} \sum_{𝑘 = 0}^{\infty} (𝑐_{𝑘} 𝑃_{𝑘} (𝑥) 𝑃_{𝑖} (𝑥)) d 𝑥 \\ = 𝑐_{𝑖} \int_{𝜋}^{𝜋} 𝑃_{𝑖}^{2} (𝑥) d 𝑥 \\ = 𝑐_{𝑖} \end{aligned}

通过式 8 ，我们可以得到函数 $\tilde{𝑓} (𝑥)$ 中的系数如下：

𝑐_{0} = 1, 𝑐_{1} = 0, 𝑐_{2} = \sqrt{\frac{6}{𝜋}}, 𝑐_{3} = 0

带入到式 5，可以得到函数 $\tilde{𝑓} (𝑥)$ 的公式如下：

\begin{aligned} \tilde{𝑓} (𝑥) & = (\frac{315}{2 𝜋^{4}} - \frac{15}{2 𝜋^{2}}) 𝑥 + (\frac{35}{2} - \frac{525}{2 𝜋^{6}}) 𝑥^{3} \\ \approx 0.856983 𝑥 - 0.0933877 𝑥^{3} \end{aligned}

图 1 是函数 $sin (𝑥)$ 与 $\tilde{𝑓} (𝑥)$ 在区间 $[- 𝜋, 𝜋]$ 的图像，其中黄色曲线为函数 $sin (𝑥)$ ，绿色曲线为函数 $\tilde{𝑓} (𝑥)$ 。可以看到，函数 $\tilde{𝑓} (𝑥)$ 能够较好地拟合函数 $sin (𝑥)$ 。

事实上，通过增加多项式函数 $𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 的数量，我们可以不断地提高函数 $\tilde{𝑓} (𝑥)$ 对函数 $𝑓 (𝑥)$ 的拟合程度。当多项式的数量是 $6$ 个时，即函数 $\tilde{𝑓} (𝑥) = \sum_{𝑖 = 0}^{5} 𝑐_{𝑖} 𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 时，函数图像如图 2 所示。从图像可以看出，函数 $sin (𝑥)$ 与 $\tilde{𝑓} (𝑥)$ 的曲线几乎一致。我们取图 2 中的局部区间 $[\frac{3 𝜋}{10}, \frac{7 𝜋}{10}]$ ，如图 3 所示，可以看到函数 $sin (𝑥)$ 与 $\tilde{𝑓} (𝑥)$ 的曲线误差也很小。

当函数 $\tilde{𝑓} (𝑥)$ 中多项式函数 $𝑃_{𝑖} (𝑥)$ 的项数趋于无穷时，其极限为 $sin (𝑥)$ ，能够完美地拟合函数 $sin (𝑥)$ 。