傅里叶变换01 - 傅里叶级数

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1. 傅里叶正交函数集

傅里叶函数集 $Φ$ 是正交函数集，其中任意两个函数的内积都为0。 $Φ$ 的定义如式 1 所示。

Φ = {1, sin (𝑤 𝑡), cos (𝑤 𝑡), sin (2 𝑤 𝑡), cos (2 𝑤 𝑡), \dots, sin (𝑛 𝑤 𝑡), cos (𝑛 𝑤 𝑡)}

傅里叶基函数之间内积的定义如式 2 所示。

⟨ 𝑓, 𝑔 ⟩ = \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑔 (𝑥) d 𝑥

证明

当正整数 $𝑛$ 与 $𝑚$ 满足： $𝑛, 𝑚 > 0$ 时，

\begin{aligned} ⟨ sin (𝑛 𝑤 𝑡), sin (𝑚 𝑤 𝑡) ⟩ & = \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} sin (𝑛 𝑤 𝑡) \cdot sin (𝑚 𝑤 𝑡) 𝑡 𝑡 \\ = \int \frac{1}{2} (cos (𝑛 - 𝑚) 𝑤 𝑡 - cos ((𝑛 + 𝑚) 𝑤 𝑡)) \end{aligned}

分情况讨论，当 $𝑚 \neq 𝑛$ 时，根据式 45 可得：

\begin{aligned} ⟨ sin (𝑛 𝑤 𝑡), sin (𝑚 𝑤 𝑡) ⟩ & = \frac{1}{2} \cdot (\int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} cos (𝑛 - 𝑚) 𝑤 𝑡 𝑡 𝑡 - \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} cos (𝑛 + 𝑚) 𝑤 𝑡 𝑡 𝑡) \\ = \frac{1}{2} \cdot (0 + 0) \\ = 0 \end{aligned}

当 $𝑚 = 𝑛$ 时，可得：

\begin{aligned} ⟨ sin (𝑛 𝑤 𝑡), sin (𝑚 𝑤 𝑡) ⟩ & = \frac{1}{2} \cdot (\int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} cos (𝑛 - 𝑚) 𝑤 𝑡 𝑡 𝑡 - \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} cos (𝑛 + 𝑚) 𝑤 𝑡 𝑡 𝑡) \\ = \frac{1}{2} \cdot (\int 1 - \int cos (2 𝑛 𝑤 𝑡)) \\ = \frac{1}{2} \cdot 𝑇 \\ = \frac{𝑇}{2} \end{aligned}

同理可得：

⟨ cos (𝑛 𝑤 𝑡), cos (𝑚 𝑤 𝑡) ⟩ = {\begin{cases} 0, if 𝑛 \neq 𝑚 \\ \frac{𝑇}{2}, if 𝑛 = 𝑚 \end{cases}

⟨ sin (𝑛 𝑤 𝑡), cos (𝑚 𝑤 𝑡) ⟩ = \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} \frac{1}{2} \cdot (sin (𝑛 + 𝑚) 𝑤 𝑡 + sin (𝑛 - 𝑚) 𝑤 𝑡) 𝑡 𝑡

当 $𝑛 \neq 𝑚$ 时，由式 44 可得：

⟨ sin (𝑛 𝑤 𝑡), cos (𝑚 𝑤 𝑡) ⟩ = 0

当 $𝑛 = 𝑚$ 时，可得：

\begin{aligned} ⟨ sin (𝑛 𝑤 𝑡), cos (𝑚 𝑤 𝑡) ⟩ & = \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} \frac{1}{2} \cdot (sin (𝑛 + 𝑚) 𝑤 𝑡 + sin (𝑛 - 𝑚) 𝑤 𝑡) 𝑡 𝑡 \\ = \int \frac{1}{2} sin (2 𝑛 𝑤 𝑡) \\ = 0 \end{aligned}

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2. 傅里叶级数

任意一个周期为 $𝑇$ 的函数都可以展开为不同频率的的正弦与余弦函数的线性组合，即：

𝑓 (𝑥) = \sum_{𝑛 = 0}^{\infty} (𝑎_{𝑛} sin 𝑛 𝜔 𝑥 + 𝑏_{𝑛} cos 𝑛 𝜔 𝑥)

对于式 10，我们需要求解系数 $𝑎_{𝑛}$ 与 $𝑏_{𝑛}$ 。根据傅里叶正交函数系的性质可知：

当 $𝑛 > 0$ 时，求解系数 $𝑎_{𝑛}$ 时，可以利用公式：

\begin{aligned} ⟨ 𝑓 (𝑥), sin (𝑛 𝜔 𝑥) ⟩ & = \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) \cdot sin 𝑛 𝜔 𝑥 \\ = \int sin 𝑛 𝜔 𝑥 \cdot (\sum_{𝑛 = 0}^{\infty} (𝑎_{𝑛} sin 𝑛 𝜔 𝑥 + 𝑏_{𝑛} cos 𝑛 𝜔 𝑥)) \\ = \sum_{𝑛 = 0}^{\infty} (𝑎_{𝑛} \cdot \int sin 𝑛 𝜔 𝑥 \cdot sin 𝑛 𝜔 𝑥 + 𝑏_{𝑛} \int sin 𝑛 𝜔 𝑥 \cdot cos 𝑛 𝜔 𝑥) \\ = 𝑎_{𝑛} \int sin 𝑛 𝜔 𝑥 \cdot sin 𝑛 𝜔 𝑥 \\ = 𝑎_{𝑛} \cdot \frac{𝑇}{2} \end{aligned}

因此，可以得到

𝑎_{𝑛} = \frac{2}{𝑇} \cdot ⟨ 𝑓 (𝑥), sin 𝑛 𝜔 𝑥 ⟩ = \frac{2}{𝑇} \cdot \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) \cdot sin 𝑛 𝜔 𝑥 d 𝑥

同理，对于系数 $𝑏_{𝑛}$ ，可以得到：

𝑏_{𝑛} = \frac{2}{𝑇} \cdot ⟨ 𝑓 (𝑥), cos 𝑛 𝜔 𝑥 ⟩ = \frac{2}{𝑇} \cdot \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) \cdot cos 𝑛 𝜔 𝑥 d 𝑥

对于 $𝑛 = 0$ 的特殊情况，由于由于当 $𝑛 = 0$ 时，

{\begin{cases} sin 𝑛 𝑤 𝑡 = 0 \\ cos 𝑛 𝑤 𝑡 = 1 \end{cases}

因此式 10 中的项 $𝑎_{0} \cdot sin (0 \cdot 𝜔 𝑥)$ 没有意义，系数 $𝑎_{0}$ 可以为任意值。对于项 $𝑏_{0} \cdot cos (0 \cdot 𝜔 𝑥)$ 而言，其值为 $1$ ，则系数 $𝑏_{0}$ 可以求解。对于系数 $𝑏_{0}$ ，可以求得：

\begin{aligned} ⟨ 𝑓 (𝑥), 1 ⟩ & = \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) \cdot 1 \\ = \int (\sum_{𝑖 = 0}^{\infty} (𝑎_{𝑛} sin 𝑛 𝜔 𝑥 + 𝑏_{𝑛} cos 𝑛 𝜔 𝑥)) \cdot 1 \\ = \sum_{𝑖 = 0}^{\infty} (𝑎_{𝑛} \cdot \int sin 𝑛 𝜔 𝑥 + 𝑏_{𝑛} \cdot \int cos 𝑛 𝜔 𝑥) (1 与 sin 𝑛 𝜔 𝑥, cos 𝑛 𝜔 𝑥 的函数正交性) \\ = 𝑏_{0} \cdot \int cos (0 \cdot 𝜔 𝑥) \\ = 𝑏_{0} \cdot 𝑇 \end{aligned}

因此可得：

𝑏_{0} = \frac{1}{𝑇} \cdot ⟨ 𝑓 (𝑥), 1 ⟩ = \frac{1}{𝑇} \cdot \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) d 𝑥

为了后续方便讨论，以及统一形式系数的表述形式。式 10 中当 $𝑛 = 0$ 时的特殊常数项 $𝑎_{0} sin 0 + 𝑏_{0} cos 0 = 𝑏_{0}$ 可以使用单个常数项来表示，即令：

\frac{𝑐_{0}}{2} = 𝑎_{0} sin 0 + 𝑏_{0} cos 0 = 𝑏_{0}

因此，式 10 可以表述为：

𝑓 (𝑥) = \frac{𝑐_{0}}{2} + \sum_{𝑖 = 1}^{\infty} (𝑎_{𝑛} \cdot sin 𝑛 𝜔 𝑥 + 𝑏_{𝑛} \cdot cos 𝑛 𝜔 𝑥)

其中的系数可以使用统一的形式来表示为：

{\begin{cases} 𝑐_{0} = \frac{2}{𝑇} \cdot \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) d 𝑥 \\ 𝑎_{𝑛} = \frac{2}{𝑇} \cdot \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) \cdot sin 𝑛 𝜔 𝑥 d 𝑥 \\ 𝑏_{𝑛} = \frac{2}{𝑇} \cdot \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) \cdot cos 𝑛 𝜔 𝑥 d 𝑥 \end{cases}

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3. 复数傅里叶级数

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3.1. 复数傅里叶级数推导

傅里叶级数中的每项 $𝑎_{𝑛} sin 𝑛 𝜔 𝑥 + 𝑏_{𝑛} cos 𝑛 𝜔 𝑥$ 都同时含有两个基函数 $sin 𝑛 𝜔 𝑥$ 与 $cos 𝑛 𝜔 𝑥$ 。为了表达的简单性，我们需要寻找一种方式来将每项中的两个基函数表示为单个基函数。利用欧拉公式，我们可以使用复数来同时表示 $sin 𝑛 𝜔 𝑥$ 与 $cos 𝑛 𝜔 𝑥$ 函数。

欧拉公式的数学表述为：

𝑒^{𝑖 𝑥} = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥

变形可以得到：

𝑒^{- 𝑖 𝑥} = cos 𝑥 - 𝑖 sin 𝑥

因此， $sin 𝑥$ 与 $cos 𝑥$ 可以表示为：

{\begin{cases} sin 𝑥 = \frac{𝑒^{𝑖 𝑥} - 𝑒^{- 𝑖 𝑥}}{2 𝑖} \\ cos 𝑥 = \frac{𝑒^{𝑖 𝑥} + 𝑒^{- 𝑖 𝑥}}{2} \end{cases}

因此，式 18 可以表述为：

\begin{aligned} 𝑓 (𝑥) & = \frac{𝑐_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{\infty} (𝑎_{𝑛} \cdot \frac{𝑒^{𝑖 𝑛 𝑤 𝑥} - 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝑤 𝑥}}{2 𝑖} + 𝑏_{𝑛} \cdot \frac{𝑒^{𝑖 𝑛 𝑤 𝑥} + 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝑤 𝑥}}{2}) \\ = \frac{𝑐_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{\infty} (𝑎_{𝑛} \cdot \frac{- 𝑖^{2}}{2 𝑖} (𝑒^{𝑖 𝑛 𝑤 𝑥} - 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝑤 𝑥}) + \frac{𝑏_{𝑛}}{2} \cdot (𝑒^{𝑖 𝑛 𝑤 𝑥} + 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝑤 𝑥})) \\ = \frac{𝑐_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{\infty} (\frac{- 𝑖 \cdot 𝑎_{𝑛}}{2} (𝑒^{𝑖 𝑛 𝑤 𝑥} - 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝑤 𝑥}) + \frac{𝑏_{𝑛}}{2} \cdot (𝑒^{𝑖 𝑛 𝑤 𝑥} + 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝑤 𝑥})) \\ = \frac{𝑐_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{\infty} (\frac{- 𝑖 \cdot 𝑎_{𝑛} + 𝑏_{𝑛}}{2} \cdot 𝑒^{𝑖 𝑛 𝑤 𝑥} + \frac{𝑖 𝑎_{𝑛} + 𝑏_{𝑛}}{2} \cdot 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝑤 𝑥}) \\ = \frac{𝑐_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{\infty} (\frac{- 𝑖 \cdot 𝑎_{𝑛} + 𝑏_{𝑛}}{2} \cdot 𝑒^{𝑖 𝑛 𝑤 𝑥}) + \sum_{𝑛 = 1}^{\infty} (\frac{𝑖 𝑎_{𝑛} + 𝑏_{𝑛}}{2} \cdot 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝑤 𝑥}) \\ = \frac{𝑐_{0}}{2} + \sum_{𝑛 = 1}^{\infty} (\frac{- 𝑖 \cdot 𝑎_{𝑛} + 𝑏_{𝑛}}{2} \cdot 𝑒^{𝑖 𝑛 𝑤 𝑥}) + \sum_{𝑛 = - \infty}^{- 1} (\frac{𝑖 𝑎_{- 𝑛} + 𝑏_{- 𝑛}}{2} \cdot 𝑒^{𝑖 𝑛 𝑤 𝑥}) \end{aligned}

当 $𝑛 = 0$ 时，则 $𝑒^{𝑖 𝑛 𝜔 𝑥}$ 为：

𝑒^{𝑖 0 𝑤 𝑥} = cos 0 + 𝑖 sin 0 = 1

因此式 23 可以使用复数表示为

𝑓 (𝑥) = \sum_{𝑛 = - \infty}^{\infty} 𝑑_{𝑛} 𝑒^{𝑖 𝑛 𝜔 𝑥}

其中 $𝑑_{𝑛}$ 为：

𝑑_{𝑛} = {\begin{cases} \frac{- 𝑖 𝑎_{𝑛} + 𝑏_{𝑛}}{2} & , 𝑛 > 0 \\ \frac{1}{2} 𝑐_{0} & , 𝑛 = 0 \\ \frac{𝑖 𝑎_{- 𝑛} + 𝑏_{- 𝑛}}{2} & , 𝑛 < 0 \end{cases}

将式 19 代入，可以得到：

\begin{aligned} \frac{1}{2} 𝑐_{0} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) \\ = \frac{1}{𝑇} \int 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑒^{- 𝑖 𝑛 0 𝑥} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{- 𝑖 𝑎_{𝑛} + 𝑏_{𝑛}}{2} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{𝑇} \cdot \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) (- 𝑖 sin 𝑛 𝑤 𝑥 + cos 𝑛 𝑤 𝑥) \\ = \frac{1}{𝑇} \cdot \int 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝜔 𝑥} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{𝑖 𝑎_{- 𝑛} + 𝑏_{- 𝑛}}{2} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) (𝑖 sin (- 𝑛 𝜔 𝑥) + cos (- 𝑛 𝜔 𝑥)) \\ = \frac{1}{𝑇} \cdot \int 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝜔 𝑥} \end{aligned}

因此，参数 $𝑑_{𝑛}$ 可以统一表述为：

𝑑_{𝑛} = \frac{1}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝜔 𝑥}

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3.2. 复数傅里叶级数的正交函数系

对于周期为 $𝑇$ 的函数 $𝑓 (𝑥)$ ，从复数域角度来讲，周期函数 $𝑓 (𝑥)$ 可以表示为实变复值函数系 $ℛ︀$ 的线性组合，其中函数系 $ℛ︀$ 为：

ℛ︀ = {𝑒^{𝑖 𝑛 𝜔 𝑥} | 𝑛 \in 𝑍}

因此，函数 $𝑓 (𝑥)$ 可以表示为：

𝑓 (𝑥) = \sum_{- \infty}^{\infty} 𝑑_{𝑛} \cdot 𝑒^{𝑖 𝑛 𝜔 𝑥}

对于函数系 $ℛ︀$ 而言，其定义的内积为Hermit内积，如：

⟨ 𝑓 (𝑥), 𝑔 (𝑥) ⟩ = \frac{1}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑔 (𝑥) d 𝑥

事实上，可以证明函数系 $ℛ︀$ 是规范正交的，即：

\begin{aligned} ⟨ 𝑒^{𝑖 𝑛 𝜔 𝑥}, 𝑒^{𝑖 𝑚 𝜔 𝑥} ⟩ & = \frac{1}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑒^{𝑖 𝑛 𝜔 𝑥} \cdot 𝑒^{𝑖 𝑚 𝜔 𝑥} \\ = \frac{1}{𝑇} \int 𝑒^{𝑖 𝑛 𝜔 𝑥} \cdot 𝑒^{- 𝑖 𝑚 𝜔 𝑥} \\ = \frac{1}{𝑇} \int 𝑒^{𝑖 (𝑛 - 𝑚) 𝜔 𝑥} \end{aligned}

当 $𝑛 = 𝑚$ 时，有：

\begin{aligned} ⟨ 𝑒^{𝑖 𝑛 𝜔 𝑥}, 𝑒^{𝑖 𝑚 𝜔 𝑥} ⟩ & = \frac{1}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 1 \\ = 1 \end{aligned}

当 $𝑛 \neq 𝑚$ 时，有：

\begin{aligned} ⟨ 𝑒^{𝑖 𝑛 𝜔 𝑥}, 𝑒^{𝑖 𝑚 𝜔 𝑥} ⟩ & = \frac{1}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑒^{𝑖 (𝑛 - 𝑚) 𝜔 𝑥} \\ = \frac{1}{𝑇} \int cos (𝑛 - 𝑚) 𝜔 𝑥 + 𝑖 sin (𝑛 - 𝑚) 𝜔 𝑥 \\ = \frac{1}{𝑇} (\int cos (𝑛 - 𝑚) 𝜔 𝑥 + 𝑖 \int sin (𝑛 - 𝑚) 𝜔 𝑥) \\ = 0 \end{aligned}

因此，系数 $𝑑_{𝑛}$ 可以通过hermit内积来进行求解：

\begin{aligned} 𝑑_{𝑛} & = ⟨ 𝑓 (𝑥), 𝑒^{𝑖 𝑛 𝜔 𝑥} ⟩ \\ = \frac{1}{𝑇} \int_{- \frac{𝑇}{2}}^{\frac{𝑇}{2}} 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑒^{- 𝑖 𝑛 𝜔 𝑥} \end{aligned}

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4. 附录

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4.1. 三角函数积化和差公式

𝑒^{𝑖 𝑥} = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥